Construction de méthodes de volumes finis tridimensionnelles sans solveur de Riemann pour les systèmes hyperboliques non-linéaires

In this thesis we construct new finite volume methods for the solution of nonlinear hyperbolic systems describing instationary compressible flows. The new methods proposed here are based on the same ideas that gave rise to the 2 dimensional finite volume methods of Arminjon-Viallon and Arminjon-Stanescu-Viallon. The latter were based on the one-dimensional finite difference method proposed by Nessyahu-Tadmor derived itself from the staggered Lax-Friedrichs scheme. These methods can be viewed as Godunov-type methods and have the advantage to bypass the resolution of Riemann problems at cell interfaces by using two staggered meshes respectively at even and odd time steps. To compensate for the well known high diffusion of the Lax-Friedrichs scheme, van Leer's MUSCL technique is applied to the base method: it consists in replacing the Godunov piecewise constant cell functions with piecewise linear functions constrained with the help of nonlinear limiting functions that inhibit the apparition of oscillations. A 3 dimensional extension for structured Cartesian grids is first derived. Then, the method is presented for unstructured tetrahedral grids with the mathematical formulation of the method associated with the diamond dual cell. The computation times are then reduced by introducing a new formulation for the flux term. Numerical tests are performed in 1 and 2 spatial dimensions for Cartesian grids, and on unstructured tetrahedral grids in 3 dimensions. The results obtained demonstrate that all these new unstructured methods are less sensitive to meshes with a high aspect ratio. They are also simpler to code than usual finite volume methods because the Riemann problem is avoided and hence no information on the characteristics of the hyperbolic system is required.

Alternate abstract:

Dans cette thèse nous abordons la conception de nouveaux schémas de type volumes finis pour la résolution de systèmes hyperboliques non-linéaires pour la prédiction des écoulements compressibles instationnaires. Les nouveaux schémas présentés s'appuient tous sur les schémas proposés par Arminjon-Yiallon et Arminjon-Stanescu-Yiallon en 2 dimensions spatiales qui. eux. furent dérivés du schéma de N'essyahu-Tadmor en une dimension d'espace construit à partir du schéma décalé bien connu de Lax-Friedrichs. Ces schémas peuvent être considérés comme étant tous du type de Godunov et ont pour caractéristique principale d'éviter la résolution des problèmes de Riemann aux interfaces en utilisant 2 maillages différents pour, respectivement, les pas de temps pairs et impairs. Pour éviter la trop grande diffusion amenée par le schéma de Lax-Friedrichs. on a eu recours à l'utilisation d'une technique nommée MUSCL. originalement proposée par van Leer, consistant à reconstruire la solution constante par cellule en une solution linéaire par cellule tout en limitant les oscillations grâce à l'utilisation de fonctions non-linéaires. On obtient tout d ’abord une extension en 3 dimensions spatiales sur des maillages cartésiens structurés. Ensuite, nous abordons le cas de maillages non-structurés composés de tétraèdres, et la formulation mathématique du schéma associé à ces cellules. Pour réduire les temps de calcul, un nouveau. schéma de type centré fondé sur celui de N’essyahu-Tadmor mais évitant l'utilisation d'un pas intermédiaire, et composé d'un nouveau flux est proposé en une et 2 dimensions spatiales pour des maillages structurés, puis en 3 dimensions sur des maillages non structurés composés de tétraèdres. Les résultats obtenus démontrent que les nouvelles méthodes sont moins sensibles aux maillages déformés et qu'elles sont plus simples à mettre en œuvre du fait que le problème de Riemann est évité et qu’aucune information sur la décomposition de la discontinuité en les différents champs caractéristiques du système n'est nécessaire.