Cyclicite finie des boucles homoclines dans R3 non degenerees avec valeurs propres principales reelles en resonance 1:1

Dans cette thèse nous étudions les bifurcations des boucles homoclines des champs de vecteurs dans [special characters omitted] qui sont non dégénérées au sens de Deng [Den93], twistées et dont les valeurs propres principales sont en résonance 1:1. De tels champs de vecteurs possèdent une 2-variété [special characters omitted] invariante dépendant du paramètre et contenant la boucle homocline [special characters omitted] pour la valeur nulle du paramètre ainsi que toutes les orbites périodiques créées par perturbations de [special characters omitted] (voir [Hom96], [San96] ou [RR96]). Cette variété est un anneau (cas non twisté) ou un ruban de Möbius (cas twisté). La dynamique est alors donnée par une application unidimensionnelle [special characters omitted] et toutes les orbites périodiques sont de période 1 ou 2. Notre résultat principal est le calcul d'une borne explicite de la cyclicité absolue de ce type de boucle homocline dans le cas twisté, i.e. le nombre d'orbites périodiques générées par perturbation. Pour démontrer ce résultat nous calculons le développement asymptotique d'une fonction [special characters omitted] liée à [special characters omitted], puis en bornons le nombre de zéros.

Dans notre premier article, nous considérons les cas de petites codimensions. Pour calculer la borne, nous projetons la dynamique sur [special characters omitted] puis appliquons les techniques exposées par Jebrane et Mourtada [JM94] pour l'étude de la boucle en huit dans le plan. Dans le second article, nous étudions le cas général. Dans ce cadre nous ne pouvons projeter la dynamique sur [special characters omitted]. Les calculs pour obtenir la borne sont alors beaucoup plus techniques et reposent sur une généralisation des techniques exposées dans [JM94] ainsi que sur la théorie des fewnomials de Khovanskiiˇ [Kho91] permettant de réduire l'étude d'un système d'équations transcendantes à l'étude de systèmes polynomiaux non-dégénérés.

Alternate abstract:

In this thesis we study bifurcations of homoclinic loops of vector fields in [special characters omitted] which are non-degenerate in the sense of Deng [Den93], twisted and whose principal eigenvalues are in 1:1 resonance. Such vector fields possess an invariant 2-manifold [special characters omitted] depending on the parameter and containing the homoclinic loop [special characters omitted] for the null value of the parameter as well as all the periodic orbits created by perturbations of [special characters omitted] (see [Hom96], [San96] or [RR96]). This variety is a ring (untwisted case) or a Möbius strip (twisted case). The dynamics is then given by a one-dimensional map [special characters omitted] and all the periodic orbits have period 1 or 2. Our main result is the calculation of an explicit bound of the absolute cyclicity of this type of homoclinic loop in the case twisted, i.e. the number of periodic orbits generated per disturbance. To demonstrate this result we compute the asymptotic expansion of a function [special characters omitted] related to [special characters omitted], then bound the number of zeros.

In our first article, we consider the cases of small codimensions. To calculate the bound, we project the dynamics onto [special characters omitted] then apply the techniques exposed by Jebrane and Mourtada [JM94] for the study of the figure-of-eight loop in the plane. In the second article, we study the general case. In this framework we cannot project the dynamic onto [special characters omitted]. The calculations to obtain the bound are then much more technical and are based on a generalization of the techniques exposed in [JM94] as well as on the theory of fewnomials of Khovanskiiˇ [Kho91] allowing to reduce the study of a system of transcendental equations to the study of non-degenerate polynomial systems.